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微積分二

數學系 齊震宇

課程簡介

中文課程名稱:微積分二
英文課程名稱:Calculus (Ⅱ)
授課教師:齊震宇
學分數:3學分
開課單位:數學系
建立日期:2016 年 2 月

課程概述

(本課程是上學期【微積分一】的延續。)

數與形的探索是數學的核心,發生在自然科學與量化學科的各個角落。從公元前埃及人丈量尼羅河氾濫土地面積、各古文明校正曆法與觀測星象等實用目的開始,直至人類企圖認識天體運行與各種力學現象背後可能隱藏的深邃卻可以理性理解的原理,過程中混合了古希臘人追求純粹理性的產物──歐氏幾何,以及它的代數化──由費馬(Fermat)與笛卡兒(Descartes)所發展的坐標幾何,其間經歷約兩千年,終於在十七世紀時由牛頓(Newton)與萊布尼茲(Leibniz)集大成發展成了一個完整的思想體系──微積分──微分與積分的統稱,並將之用於解決各種科學問題。這可以說是今日所謂的「數學分析」的黎明。

積分的概念始於求取形體的面積,在阿基米德(Archimedes)之前的古代,只有最簡單的圖形如矩形、三角形、圓形等的面積能被求出;接著利用十分精巧的求和方法,他能求得利用圓錐曲線與直線構成的一些圖形的面積。然而,這些精巧的方法無法處理更複雜的圖形。微分的概念則源於求取變化率如速度、斜率等。直到十七世紀微分與積分之間互逆的關聯才逐漸明朗,這個關聯現在被稱為「微積分基本定理」,它提供了有效計算各類面積、體積或者說更一般的和(如轉動慣量)的方法,以及許多古代人意想不到的抽象應用。

其後,在十八世紀裡,承接這些思想的後繼者們──伯努利家族(the Bernoulli family)、歐拉(Euler)、拉格朗日(Lagrange)與拉普拉斯(Laplace)等人繼續在剛體運動、天體力學、流體力學、機械、工程等領域攻城掠地,以微積分為基礎作出了廣泛而細緻的應用。這個時期人們對微積分技巧的掌握雖然更加圓熟,但同時也發現了許多直覺上似乎可行的運算會導致無法自圓其說的謬誤。

從十八到十九世紀,微積分不但徹底滲透了當時幾乎所有的科學領域,涵蓋了力學、熱、電與磁等現象的研究,被複數(complex numbers)加持後的微積分更是如虎添翼,發展成了「複變函數論」,一方面提供了在許多科學計算上威力強大的工具,更被有效地用來研究數論,例如與整除性及質數分布有關的許多問題。在這個數學分析結實纍纍的時期,開始有越來越多數學家──如拉格朗日、柯西(Cauchy)、迪利赫雷(Dirichlet)、黎曼(Riemann)與外爾斯特拉斯(Weierstrass)等──企圖化解前述那些來自於「無限制地進行直覺上合理的運算」的謬誤。他們開始面對諸如「數列與級數的收斂或發散是什麼意思?」、「對什麼樣的函數可以進行微積分操作?」、「曲線、區面是什麼?長度、面積又是什麼呢?」乃至於「(實)數是什麼?」等「簡單的」問題。這是個漫長而艱辛的過程,一切努力漸漸往一個目標聚集──為數學分析提供一個穩固的、無疑義的邏輯基礎。在1875年起的十年間,康托爾(Cantor)提出了現代集合論的基礎。集合論是人類思想史上的一次大跳躍,最基本的集合論本身想法單純,並沒有太複雜的結構,但它的重要性在於提供了人們一種思考方式的新出發點。以往的數學對象多半是外在世界提供的,數量與形狀的存在都基於它們被賦予了的現實世界中的意義;有了集合論以後,從最基本的集合與集合操作出發,人們能逐步「構造出」以往已經熟悉的各種體系──自然數、整數、有理數、實數、直線、平面、空間物件等,能給極限、連續性等直覺概念以嚴格的邏輯描述,作為推論出新事實的基礎;能「操作」高維度空間,甚至能「創造」肉眼不可見的「空間」。集合論的想法在最初並不被人們接受甚至受到猛烈批判,但在二十世紀初幾乎已經成為數學分析與許多其他數學分支的基礎語言。

一般的微積分甲、乙與數學系的微積分(數微)課程有甚麼決定性的差異呢?大略說來,前者(微甲、乙)就像是集合論出現前的微積分,從較為「直觀」的幾何與代數概念出發來推導量與量之間的關聯(或說與函數有關的各種性質),並著重實例的演練。大部分的推理都有一定程度的清晰,然而當碰到一些概念如極限、連續性等,則只會在所考慮的函數在直覺上具有比較良好的行為時才談論,而且避免談論「怎樣的函數才算是行為良好」這樣的問題。後者(數微)則將好一部分的工夫用在把前者避談的關鍵點講清楚,剩下的力氣則致力於這種邏輯嚴格的處理方式與直觀想法間的連接與比較。仍有實例的演練,但總量也許會較少一些。

數學是什麼?這是個大哉問,就算有個答案,那麼數學一定要建立在集合論之上嗎?人們的見解也許會隨著時代而變,但當今的數學分析的基礎是如此建立的,這便是這門課將要引領大家略窺一二的題材。