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微積分二
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微積分二

數學系    齊震宇

本課程是上學期【微積分一】的延續。

本課程共 52 講,包含:
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單元 1.導論 (一):微分、積分與級數回顧;以積分重新構造對數與指數函數

內容:導論 (一):微分、積分與級數回顧;以積分重新構造對數與指數函數   下載影音檔 [NTU video]
單元 2.導論 (二):冪級數回顧;指數函數;正弦、餘弦函數與它們的週期;π 是什麼?
單元 3.導論 (三):弧長與可求長的曲線;Schwarz 的折面例子
單元 4.導論 (四):代數基本定理
單元 5.Abel 級數重寫引理及其應用
單元 6.關於冪級數的 Abel 定理
單元 7.關於 ODE
單元 8.(複習) ODE 的概念與其幾何圖示;ODE 的首次積分
單元 9.ODE 解的存在性與唯一性定理
單元 10.(複習) Picard 迭代法;ODE 解的存在與唯一性定理
單元 11.Lipschitz條件不滿足時唯一性不成立的ODE初值問題實例;ODE的極大延伸解
單元 12.【常微分方程】在物理中的例子:萬有引力定律、單擺
單元 13.【常微分方程】首次積分、保守立場與位能
單元 14.【角度函數】極坐標回顧;連續可微分平面運動的角度函數
單元 15.單變數向量值函數 (運動) 的角度函數
單元 16.【常微分方程】自守型 ODE;解落在緊緻集中存活時間便無窮;相圖 (以單擺為例)
單元 17.【常微分方程】再訪常係數線性 ODE 的解:Picard 迭代法 vs. 自然底數以方陣為指數的值
單元 18.【常微分方程】角度函數問題的解答 (續 3/17 (B));線性 ODE 解的存在與唯一性
單元 19.【常微分方程】連續平面運動均有連續角度函數
單元 20.【關於擺的討論】單擺回顧
單元 21.【關於擺的討論2】惠更斯擺 (Huygen's pendulum)
單元 22.【積分概念回顧】上、下和與上、下積分;可積函數
單元 23.【一些點集拓樸概念】賦距空間中一集合的內點、外點與邊界點
單元 24.【積分與逐次積分1】Fubini定理 (基本版)
單元 25.【積分概念】圖形(figure)與其上的積分
單元 26.【積分概念】Fubini定理(回顧)、Fubini定理進階版
單元 27.【多變數微分理論1】(回顧)可微性;導數矩陣/Jacobi矩陣;鎖鏈律
單元 28.【多變數微分理論2】梯度向量;(積分與偏導數混合版本的)均值定理
單元 29.【多變數微分理論3】局部最優化(極大值與極小值)與臨界點(critical pounts);函數的凸性;凸性與極值的二階導數判別法
單元 30.【如何描繪空間中的物件1】將方程式(等式)所描述的物件參數化的例子:(有號)極座標表示;隱函數與穩微分的想法
單元 31.【多變數微分理論4】隱函數與隱微分:隱函數定理(單個方程式的情形)
單元 32.【多變數微分理論5】拉格朗日乘子法 (Lagrange multiplier)
單元 33.【多變數微分理論6】隱函數定理(多個方程式的情形)
單元 34.【多變數微分理論7】(非正式討論)隱函數的概念與隱微分
單元 35.【如何描寫空間中的物件2】參數化觀點(image觀點)與方程式觀點(preimage觀點)
單元 36.【反函數定理1】(毫無啟發性的解說方式)
單元 37.【反函數定理2】
單元 38.【積分變數變換1】初等映射;將變數變換局部分解為初等映射的合成
單元 39.【積分變數變換2】一些關於映射與圖形(figure)的基本性質
單元 40.【積分變數變換3】任意維度的球體體積;高維度球座標;正交座標系
單元 41.【多變數瑕積分1】絕對收斂的瑕積分
單元 42.【曲線的基本概念1】(平面或空間中的)正則曲線;平面曲線的有號曲率(signed curvature);空間曲線的曲率(curvature)與扭率(torsion);Frenet活動標架
單元 43.【形心與重心的定義】(將在之後【曲線的基本概念2】用到)
單元 44.【曲線的基本概念2】積分變數變換公式搭配Frenet標架的應用:體積問題
單元 45.【曲面的面積1】三維空間中參數曲面的面積定義與其合理性
單元 46.【曲面的面積2】推廣: n維空間中的m維體積應該如何定義
單元 47.【古典向量分析1】功與向量場沿給定路徑的線積分
單元 48.【古典向量分析2】梯度場(保守場)的概念;一個向量場是梯度場的必要條件
單元 49.【古典向量分析3】(非正式討論)同倫 (homotopy)的概念;單連通空間
單元 50.【古典向量分析4】「一向量場是梯度場」若且唯若「它沿著連續可微曲線積分的值僅與端點有關」的詳細討論
單元 51.【古典向量分析5】滿足梯度場必要條件的向量場沿方塊映射的邊界曲線積分必為零
單元 52.【古典向量分析6】關於平面區域向量場的Green定理