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微積分一
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微積分一

數學系    齊震宇

數與形的探索是數學的核心,發生在自然科學與量化學科的各個角落。從公元前埃及人丈量尼羅河氾濫土地面積、各古文明校正曆法與觀測星象等實用目的開始,直至人類企圖認識天體運行與各種力學現象背後可能隱藏的深邃卻...

本課程共 65 講,包含:
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單元 1.導論

內容:導論  (本影音檔不提供下載) [NTU video]
單元 2.最小上界、最大下界、Dedekind cut、數列極限的定義與性質
單元 3.單調數列的收斂性、區間套定理、Cauchy 數列的概念
單元 4.Cauchy 點列必收斂
單元 5.級數收斂的等價敘述、絕對收斂與條件收斂、比較審斂法、比值與開方根審斂法、交錯級數與 Leibniz 判別法
單元 6.Dirichlet 級數重排定理(改變求和順序不影響絕對收斂級數的和)、Riemann 級數重排定理 (條件收斂可透過改變求和順序收斂到任意數)
單元 7.絕對收斂級數的乘積逐項展開
單元 8.(前次定義複習) 開集與閉集的基本性質、賦距空間中點列極限的定義、Bolzano-Weierstrass 定理、開覆蓋、緊緻集、Heine-Borel 定理
單元 9.距離空間 (metric space)、開集與閉集
單元 10.(複習:緊緻性與Heine-Borel定理) 開覆蓋的Lebesgue數
單元 11.賦距空間中一子集的孤立點、極限點與聚集點
單元 12.賦距空間之間映射的極限
單元 13.(複習:孤立點、極限點與聚集點、映射極限)映射的連續性與其等價敘述、賦距子空間的概念
單元 14.(摘要整理:賦距子空間與連續映射)、連續映射保持緊緻性、連續函數在緊緻集上有最大值與最小值、中間值定理
單元 15.(複習:連續映射/函數、映射限制到子空間上與連續性的關係)
單元 16.以有理數為指數是什麼意思?
單元 17.以實數數為指數是什麼意思?
單元 18.指數函數與對數函數的構造與他們的性質(續)
單元 19.映射/函數的均勻連續性、緊緻賦距空間上的連續映射必均勻連續、(補充)利用構造序列的方法證明連續函數的最大值與最小值存在
單元 20.(續單元 18) 指數律、指數函數的連續性
單元 21.實數值函數的各類上、下極限、單實變數函數的左、右極限
單元 22.極限不存在的例子
單元 23.函數的導數與可微性
單元 24.函數的凸性與導數的關係
單元 25.指數函數與正、餘弦函數的導函數
單元 26.四則運算的求導法則
單元 27.反函數求導、合成函數求導(鍊鎖律)
單元 28.Rolle 定理、均值定理、L'Hospital 法則
單元 29.(續單元 26 鍊鎖律) 在一點逼近給定函數到某階數的概念
單元 30.導數的符號與函數的單調性、偏導數、求最大最小值
單元 31.(續11/03B) 以多項式在一點逼近給定函數到某階數─Taylor多項式
單元 32.第k個Taylor 多項式的k階逼近性質、Taylor逼近的餘項、以多項式逼近合成函數到k階的鍊鎖律
單元 33.(單元 30 更正) 單變數函數極值發生在端點未必保證導數為0
單元 34.(續單元 30) 求最大最小值實例
單元 35.(續單元 32) 乘積與商的 Taylor 多項式
單元 36.部分期中考題檢討
單元 37.(續單元 35) 乘積的k階多項式逼近
單元 38.多變數向量值函數的可微性、連續可微分性、多變數鍊鎖律
單元 39.函數列的均勻收斂、均勻收斂保持連續性
單元 40.完備賦距空間、對應域完備時一個函數列均勻Cauchy等價於均勻收斂、函數級數的Weierstrass M-檢驗
單元 41.填滿三角形的連續曲線
單元 42.Weierstrass 的無處可微的連續函數
單元 43.(續前單元) Weierstrass的無處可微的連續函數
單元 44.有號面積基礎理論;原函數/不定積分;分部積分與代換法求不定積分
單元 45.有界函數對區間分割的上、下和;上、下積分;Darboux 可積函數的基本性質;連續函數與單調函數均為 Darboux 可積
單元 46.Darboux定理:Darboux積分等於Riemann和的極限
單元 47.(討論)單元 45 課程中 37:08 的 Ex1.
單元 48.可數集;測度為零的概念;Lebesgue的Darboux-Riemann可積性判別法
單元 49.Darboux積分的回顧;不定積分時產生的「常數」
單元 50.不定積分的計算實例 ─ cosine 的冪次
單元 51.有理函數與一些涉及二次多項式平方根的函數的積分─部分分式分解與各類三角函數/雙曲函數代換
單元 52.三角/雙曲函數的有理組合的不定積分
單元 53.Taylor展開式餘項的積分表達
單元 54.瑕積分
單元 55.(續單元 54) 瑕積分的絕對收斂;Gamma函數
單元 56.e 的超越性
單元 57.(討論) [0,1] is not of measure 0
單元 58.(討論) 定積分變數代換的上下限;1/(3+ sine 平方)的不定積分
單元 59.Lebesgue的Darboux-Riemann可積性判別法
單元 60.均勻收斂與積分號下求極限
單元 61.正弦函數冪次的定積分及其推論
單元 62.【n! 的估計】Stirling公式
單元 63.積分對參數的微分與積分
單元 64.積分對參數的微分與積分瑕積分的情形
單元 65.積分對參數的微分與積分計算實例