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微積分一
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微積分一

數學系    齊震宇

一般的微積分甲、乙與數學系的微積分(數微)課程有甚麼決定性的差異呢?大略說來,前者(微甲、乙)就像是集合論出現前的微積分,從較為「直觀」的幾何與代數概念出發來推導量與量之間的關聯(或說與函數有關的各種...

本課程共 54 講,包含:
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單元 1.導論

內容:導論  (本影音檔不提供下載) [NTU video]
單元 2.最小上界、最大下界、Dedekind cut、數列極限的定義與性質
單元 3.單調數列的收斂性、區間套定理、Cauchy數列的概念
單元 4.數列收斂等價於是Cauchy數列、級數收斂與發散的定義
單元 5.級數收斂的等價敘述、絕對收斂與條件收斂、比較審斂法、比值與開方根審斂法、交錯級數與 Leibniz 判別法
單元 6.Dirichlet 級數重排定理、Riemann 級數重排定理
單元 7.絕對收斂級數的乘積逐項展開
單元 8.距離函數(度量)、距離的例子、開球與閉球、開集
單元 9.(前次定義複習) 開集與閉集的基本性質、賦距空間中點列極限的定義 、Bolzano-Weierstrass 定理、開覆蓋、緊緻集、Heine-Borel 定理
單元 10.(複習) 緊緻性與 Heine-Borel 定理;開覆蓋的 Lebesgue 數
單元 11.賦距空間中一子集的孤立點、極限點與聚集點
單元 12.賦距空間之間映射的極限
單元 13.(複習) 孤立點、極限點與聚集點、映射極限:映射的連續性與其等價敘述、賦距子空間的概念
單元 14.(摘要整理) 賦距子空間與連續映射;連續映射保持緊緻性、連續函數在緊緻集上有最大值與最小值、中間值定理
單元 15.(複習) 連續映射-函數、映射限制到子空間上與連續性的關係
單元 16.以有理數為指數是什麼意思?
單元 17.以實數數為指數是什麼意思?
單元 18.指數函數與對數函數的構造與他們的性質(續)
單元 19.映射/函數的均勻連續性、緊緻賦距空間上的連續映射必均勻連續;(補充)利用構造序列的方法證明連續函數的最大值與最小值存在
單元 20.(續單元18)指數律、指數函數的連續性
單元 21.實數值函數的各類上、下極限、單實變數函數的左、右極限
單元 22.極限不存在的例子
單元 23.函數的導數與可微性
單元 24.指數函數與正、餘弦函數的導函數
單元 25.四則運算的求導法則
單元 26.反函數求導、合成函數求導(鍊鎖律)
單元 27.Rolle 定理、均值定理、L'Hospital 法則
單元 28.(續單元26) 在一點逼近給定函數到某階數的概念
單元 29.導數的符號與函數的單調性、偏導數、求最大最小值
單元 30.(續單元28) 以多項式在一點逼近給定函數到某階數─Taylor多項式
單元 31.第k個Taylor 多項式的k階逼近性質、Taylor逼近的餘項、以多項式逼近合成函數到k階的鍊鎖律
單元 32.(單元29更正)單變數函數極值發生在端點未必保證導數為0
單元 33.(續單元29)求最大最小值實例
單元 34.(續單元31)乘積與商的 Taylor 多項式
單元 35.(續單元34)乘積的k階多項式逼近
單元 36.多變數向量值函數的可微性、連續可微分性、多變數鍊鎖律
單元 37.部分期中考題檢討
單元 38.函數列的均勻收斂、均勻收斂保持連續性
單元 39.完備賦距空間、對應域完備時一個函數列均勻Cauchy等價於均勻收斂、函數級數的Weierstrass M 檢驗
單元 40.填滿三角形的連續曲線
單元 41.Weierstrass 的無處可微的連續函數
單元 42.(續單元 41) Weierstrass 的無處可微的連續函數
單元 43.有號面積基礎理論;原函數/不定積分;分部積分與代換法求不定積分
單元 44.有界函數對區間分割的上、下和;上、下積分;Darboux
單元 45.三角/雙曲函數的有理組合的不定積分
單元 46.Taylor 展開式餘項的積分表達
單元 47.瑕積分
單元 48.(續單元 47) 瑕積分的絕對收斂;Gamma 函數
單元 49.e 的超越性
單元 50.(討論) [0,1] 是不可數集
單元 51.(討論) 定積分變數代換的上下限;1/(3 sine 平方) 的不定積分
單元 52.Lebesgue 的 Darboux-Riemann 可積性判別法
單元 53.均勻收斂與積分號下求極限
單元 54.圓周率 pi 的 Wallis 公式