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分析
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分析

數學系    齊震宇

在數學中,「分析」是「所有關於數量的研究」的同義詞。那麼,這裡說的「數量」是什麼呢?粗略地說,數量指的是「定義在空間上的函數」。這時自然得問:「空間是什麼?函數又是什麼呢?」雖然這些辭彙我們在中學(或...

本課程共 83 講,包含:
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單元 1.【複變函數論簡介1】複數意義下的可微分性;全純函數;Cauchy Riemann方程;複變函數的線積分;Cauchy積分定理

內容:【複變函數論簡介1】複數意義下的可微分性;全純函數;Cauchy Riemann方程;複變函數的線積分;Cauchy積分定理   下載影音檔 [NTU video]
單元 2.【複變函數論簡介2】利用Cauchy積分定理計算定積分/瑕積分;Cauchy積分公式
單元 3.【複變函數論簡介3】極大模原理;孤立奇點;全純函數在孤立奇點的Laurent展開;留數與留數定理
單元 4.【複變函數論簡介4】孤立奇點分類:可移去的奇點、極點與本質奇點;全純函數接近孤立奇點時的性質
單元 5.【複變函數論簡介5】極大模原理的又一應用:Schwarz引理
單元 6.【複變函數論簡介6】幅角原理(the argument principle)
單元 7.【複變函數論簡介7】保角性;全純函數的(部分)反函數;對數函數
單元 8.【複變函數論簡介8】開映射原理
單元 9.【複變函數論簡介9】(討論)對數函數與開方根;幅角原理的名稱由來
單元 10.【複變函數論簡介10】複變數複數冪函數;複變數複數冪的二項式定理
單元 11.【複變函數論簡介11】Goursat定理:複數意義下逐點可微分則全純
單元 12.【向量空間上的分析概念1】向量空間、賦範空間、內積空間的一般概念
單元 13.【向量空間上的分析概念2】內積空間中的正交(orthogonal)族與么正族(orthonormal family)
單元 14.【向量空間上的分析概念3】內積空間中對么正族的投影;Bessel不等式;Fourier係數;Parseval條件
單元 15.【函數的Fourier級數1】連續函數的均勻逼近1:Cesàro求和與Fejér定理(以三角級數均勻逼近連續週期函數)
單元 16.【函數的Fourier級數2】連續函數的均勻逼近2:標準三角函數族在週期為2π的連續函數空間中滿足Parseval條件;Weierstrass逼近定理
單元 17.【函數的Fourier級數3】Fourier級數收斂定理
單元 18.【函數列的收斂子列1】函數族的等度連續性
單元 19.【函數列的收斂子列2】從函數序列中製造均勻
單元 20.【函數列的收斂子列4】Peano關於具有連續設定的ODE的解的存在性定理
單元 21.【選擇公理:等價敘述與應用1】 偏序、全序與良序;Zorn引理與Zermelo良序原理
單元 22.【選擇公理:等價敘述與應用2】Zorn引理的一些基本應用: 集合基數的可比較性、向量空間中的線性獨立集均能擴充成基底、Hahn-Banach定理
單元 23.【點集拓樸簡介1】拓樸空間與映射連續性的觀念;緊緻性
單元 24.【點集拓樸簡介2】鄰域/近傍(neighborhood)與映射的連續性;拓樸空間中一子集的內點、外點、邊界點、孤立點、極限點、閉包與內部
單元 25.【點集拓樸簡介3】閉包操作與聯集以及連續映射的關聯
單元 26.【點集拓樸簡介4】幾種基本的分離性條件
單元 27.【點集拓樸簡介5】拓樸的粗(弱)與細(強);預設某些子集為開而得到的最粗拓樸─subbasis的觀念;基(basis)與局部基(local basis)
單元 28.【點集拓樸簡介6】(習題檢討)閉包、內部、邊界與極限點的關係;對局部有限子集族求閉包與求聯擊集兩操作可以交換順序
單元 29.【點集拓樸簡介7】給定集合中怎樣的一組子集會形成某個拓樸的basis...
單元 30.【點集拓樸簡介8】Initial topology的概念;子空間拓樸;積拓樸
單元 31.【點集拓樸簡介9】final topology 的概念;等價關係、等價類與商集合;商拓樸(quotient topology)與商映射(quotient map);開/閉映射必為商映射
單元 32.【點集拓樸簡介10】緊緻子集與緊緻空間;緊緻性、閉性與Hausdorff性的關聯;恰當映射(proper map);從積空間到分量的投影映射是開映射;局部緊緻Hausdorff空間
單元 33.【點集拓樸簡介11】在拓樸空間上構造非常數的實數值連續函數;局部緊緻空間
單元 34.【點集拓樸簡介12】一些概念的序列描述;緊緻賦距空間、序列緊緻、全然有界與完備性
單元 35.【點集拓樸簡介13】序列概念的推廣─net (一)
單元 36.【點集拓樸簡介14】序列概念的推廣─net (二):任何 net 都有 universal subnet
單元 37.【點集拓樸簡介15】序列概念的推廣─net (三): 以net與 universal net 刻化緊緻性; Tychonoff 定理─緊緻空間的積空間亦緊緻
單元 38.【點集拓樸簡介16】一個Ascoli定理的推廣;相對緊緻子集
單元 39.【點集拓樸簡介17】緊緻空間上連續函數族的均勻閉包─Stone-Weierstrass逼近定理
單元 40.【點集拓樸簡介18】單位分解(partition of unity);paracompactness的概念與基本性質
單元 41.【測度論1】可測空間、可測映射;含有一子集族的最小 sigma-algebra;initial and final sigma-algebra;正測度
單元 42.【測度論2.1】Borel sets與連續映射;trace sigma-algrbra;定義在子集上對於給定 sigma-algebra 為可測的廣義實數
單元 43.【測度論2.2】關於sigma代數與可測映射的一些註解
單元 44.【測度論3.1】Lebesgue的積分理論
單元 45.【測度論3.2】Lebesgue單調收斂定理;以單純函數單調逼近可測非負函數;Fatou引理
單元 46.【測度論3.3】由積分造測度
單元 47.【測度論4.1】複值可積函數的一般性質
單元 48.【測度論4.2】Lebesgue控制收斂定理
單元 49.【測度論5】幾乎處處(almost everywhere)的概念;完備測度空間;測度空間的完備化;擴充意義下的積分
單元 50.【測度論6】幾個與積分有關且幾乎處處成立的性質
單元 51.【測度論7】外測度1:外測度;Carathéodory構造─由外測度構造完備測度空間
單元 52.【測度論8】外測度2:以「加權」覆蓋構造外測度;Lebesgue可測集與Lebesgue測度;正則性─outer regularity與...
單元 53.【測度論9】Darboux-Riemann可積性 vs Lebesgue可積性:Darboux-Riemann可積性的Lebesgue判別法
單元 54.【測度論10】測度與卡氏積1:monotone class characterization of product sigma-algebra;slices的可測性
單元 55.【測度論11】測度與卡氏積2:積測度的定義
單元 56.【測度論12】測度與卡氏積3:可測函數對積測度的積分與逐次積分(非負函數的情形)─Tonelli定理
單元 57.【測度論13】測度與卡氏積4:可測函數對積測度的積分與逐次積分(可積函數的情形)─Fubini定理
單元 58.【測度論14】可測函數序列不同型態的收斂及其關聯─幾乎處處收斂、測度意義下收斂與平均意義下收斂;Egoroff定理
單元 59.【點集拓樸簡介19】單位分解與paracompactness的關聯
單元 60.【點集拓樸簡介20】局部有限開覆蓋的收縮定理
單元 61.【點集拓樸簡介21】局部緊緻Hausdorff空間中的部分單位分解(partial partition of unity)
單元 62.【點集拓樸簡介22】Stone定理─任何可賦距空間皆是paracompact
單元 63.【可微流形簡介1】拓樸流形的概念;拓樸地圖與地圖集(topological charts and topological atlas);維度與流形邊界;基本的流形實例
單元 64.【可微流形簡介2】可微流形與可微映射 ─ Ck流形與Ck結構;Ck映射;標準微分結構與怪 (exotic) 微分結構
單元 65.【可微流形簡介3】關於可微流形上坐標系的一個註解
單元 66.【可微流形簡介4】可微流形在每個點處的切向量;每點的切空間(該點處切向量的全體)上的向量空間結構;利用坐標系給出切空間的基底;坐標變化下導出的基底轉換公式
單元 67.【可微流形簡介5】可微映射導出的切映射(tangent maps)及其坐標表示法
單元 68.【光滑函數的基本性質1】在歐氏空間中實際構造顛簸函數 (bump functions);Whitney定理─歐氏空間中的任意閉集均為某光滑函數的零點集
單元 69.【光滑函數的基本性質2】利用單位分解拼湊局部資訊的例子
單元 70.【光滑函數的基本性質3】光滑映射的臨界值(critical value)與正則值 (regular value)
單元 71.【可微流形簡介6】子流形的概念
單元 72.【可微流形簡介7】流形間光滑映射的切映射(tangent map)的秩、正則值與子流形的關係
單元 73.【可微流形簡介8】習題檢討:關於子流形的討論
單元 74.【可微流形簡介9】流形上的 partition of unity
單元 75.【可微流形簡介10】流形上的定向(orientation)概念
單元 76.【可微流形簡介11】微分形式(differential form)(一):(局部版本)歐氏半空間中開集上的微分形式與它們的一些基本操作
單元 77.【可微流形簡介12】微分形式(二):(大域版本)流形上的微分形式與它們的一些基本操作
單元 78.【可微流形簡介13】微分形式(三):賦向流形(oriented manifold)上最高次微分形的積
單元 79.【可微流形簡介14】微分形式(四):賦向流形的正定向(positively oriented)流形邊界;流形上的Stokes定理(敘述)
單元 80.【可微流形簡介15】微分形式(五):流形上的Stokes定理(證明)
單元 81.【可微流形簡介16】微分形式(六):比較流形上微分形式的積分與傳統上先將積分區域參數化後所算得的積分
單元 82.【可微流形簡介17】流形上「場」(field)的概念(一):切向量場;藉著「黏貼」來構造拓樸空間與流形
單元 83.【可微流形簡介18】流形上「場」的概念(二):張量場與微分形式